太陽的顏色

星期五在跟課的時候 (我是助教沒辦法)，聽到某張老師 CCC 提到關於行星放光的光譜，光譜的曲線反映出黑體輻射的現象，然後放出類似這樣的光譜圖 :

橫軸是光的波長、縱軸是能量的強度分布。看起來沒什麼不對的，可是這時候他下了一個錯誤的結論 :"因此我們可以藉由光譜的峰值，得知行星看起來是什麼顏色"。雖然對於這個教光譜錯誤百出的老頭來說，這個錯誤算是裡面最不明顯的一個了，但很可惜這是小弟我的專長 [1]。

盲點在哪裡呢 ? 在於人的眼睛根本不是感應光的能量有多少，而是感應光子數有多少 !!! 換句話說，就是人的眼睛並不在意哪一種波長的光總能最多，而是以接受到之最多光子數的波長，當作是該物體的顏色。看起來似乎沒什麼改變 ? 可是這個修正會讓上面的光譜得到不一樣的峰值，進而得知該行星 "真正的顏色" [2]。以下是分析的過程 :

首先，先以一般黑體幅射的方程式來表示光譜圖的曲線 [3] :

u(v) 為 v ~ v+dv 間光子的總能、N(v) 為 v ~ v+dv 間的光子數、V 是發光體的體積 (在這裡，這個值不重要)，其餘的是常見的常數故先不提。由於單位轉換成波長比較容易比較，所以也常用變數變換表示成下面的式子 :

這也就是上面光譜圖的曲線。現在將其對波長微分，以尋找能量最大值的波長 :

以變數變換來簡化運算過程，最後得到一關係式 :

然後，將太陽的表面溫度 T 以 (5500 + 273)K 代入式中 [4]，算出能量最大值的波長居然是 502 nm ???!!! 稍微查一下可見光譜，如下圖 :

這可是綠光阿 !!! 所以太陽看起來應該是綠色的 ?! 當然不是，因為總能 u 不是人眼辨色的關鍵。換成以光子數 N 來表示光譜，曲線為 :

接著一樣對波長微分，然後變換變數以利計算 [5] :

代入太陽表面溫度 T 之後，可以算出光子數最多的波長是 634 nm，大約為橘紅色，這樣就合理多了。之所以會有這樣的差異，其實原因非常直觀，就是總能雖大，但若該光子的單一能量較高 (比如說相對短波長的光)，一除下來，光子數不見得是最多的，所以造成峰值的改變。由此例可以很清楚地看出太陽是橘紅色的原因，若有讀者也被你們的老師誤導，現在應該要修正一下了。

P.S. 由於 Blogger 上不能打方程式，故我都是用貼圖的方式呈現，所以字體的大小很難控制，整篇文章都有點醜  =  =## 以後應該沒時間做這種事了 ...


附註
1. 基本上老師教錯並不是什麼大不了的事，只是呢 .... 這就跟該叫獸的人品有關了，平常拿放大鏡看別人，別人當然也拿放大鏡看你，所以才會造成自己做什麼都戰戰兢兢的，畢竟能跟廠商鬧上法院的叫獸可不多見。況且，你還在課堂上說你做了 "專業" 的教學 ?! 除了浪費時間做出來的過分華麗的投影片之外，我實在看不出專業在哪裡 ..... 反正錯的還是錯的，程度比較好的學生都懶得去問你問題了。
2. 顏色是一種很主觀的物理特性，這裡當然是以人類感光細胞 "接收光子數" 的前提去討論。
3. u(v) 的表達方式運用了 particle-in-a-box 及 Bose-Einstein distribution 等近似法，就先不在這裡提了。
4. 這裡以這個網站提供的太陽表面溫度來計算，反正只要估計即可。
5. 附帶一提我計算 x 的方法，由於方程式解不出來，故使用作圖法去解近似解 :