淺談測不準原理

前一陣子有個好久不見大學社團同學突然在 MSN 上丟我，她說她最近對量子力學很有趣 [1]，尤其是測不準原理。小弟我雖然不是物理系的學生，但是我想修過幾門課的我應該還夠格跟她討論吧 ? (汗)

她說，"我覺得很多人都誤解了"，測不準原理是物質的波粒二相性，應該跟測量沒有關係吧 ? 我心裡想，可見很多人根本不清楚什麼是 "測量"，我想化學系很多人也不懂吧。

如上圖，物質的二相性跟測量的關係圖。測不準原理內容的確是敘述物質的波粒二相性本質，但是並非跟測量無關。如上圖的紅色箭頭就是以某種方法測量該物質，一個物質若具有很強的粒子性，則你無法在一個固定位置以外的地方測量到它的存在；可是若是波動性很強的物質，你會發現在哪都能測得它的存在，如此就是測不準的原由。但此時 "測量" 的意義變得格外重要，因為你一旦使用某種方法測量下去，將會破壞波函數的分佈 (也就是所謂的 collapse)，使其變成一個 Dirac delta function，這個函數只在某一點有無限大的值，其他點都是 0，但是由於測不準，所以它有可能在任何地方，只要你去做了 "測量" 的動作。也就是說，一旦經過測量，它的位置就固定在一個位置，不再有 "測不準" 的事情發生，而是這個位置點的決定本身是完全測不準的。是的，聽起來有點饒舌，我只是想陳述 "測量" 這件事情在測不準原理中本身是意義重大的。

當然，有點底子的人都知道，量子力學是以 operator、eigenfunction 及 eigenvalue 來構成具物理意義的數學式，用到很多線性代數的觀念及技巧。位置值是 eigenvalue，計算方式是一個 operator (以 x 方向為例，這個 operator 就是 x) 作用在一個 function 上，而它的 eigenfunction 就是 Dirac delta function (有沒有感覺跟上一段的實驗現象連結起來了 ?)，還有很多其他種類的 operator，但是基本上都可以用 "位置" (以單一方向  x 為例) 跟 "動量" (以 Px 為例) 的各種組合來構成。最天殺的就是這兩個  operator 不 commute :

[x , Px] = i(h bar) != 0

以線性代數的證明，就是這兩個 operator 沒有共同的一組 eigenfunction，也就是沒有任何一個情況下，可以同時測量到該物質的位置及動量。

OK，寫到這裡，除了有人可能看不懂我寫的線性代數那些東西之外 (那些真的不要叫我解釋，隨便一本量子或是線代的數都有)，應該會有人感到疑惑或混淆，突然扯出一個動量出來，跟最前面講的位置測不準有啥關係 ? 關係在於波動的動量有一個古典力學的公式可以算 :

P = h / lambda

如同我附的圖，那只是普通的正弦波，波長只有一種，動量值完全沒有 uncertainty，所以位置當然要測哪都可以，因為此時位置是完全不準的；相對的，如果測量完之後，波函數為一個 Dirac delta function，那可以看作是無限多個不同波長的波疊加起來的脈衝波，想當然耳，動量值完全不準，可是此時位置值是準的，至於介於兩者之間的例子應該不用我提了吧 ?

量子力學很深奧，測不準原理則是貫穿整個量子力學的核心理論，用得神的話可以解釋很多事情，不過這篇文章只是粗淺地講一些基礎而已，有興趣或看不懂這篇文章的人可以自行去翻量子力學的基礎書籍。

附註
1. 她是資管系的學生，以前幾乎沒學過量子的東西。